Relation avec le moment angulaire

Toute particule chargée tournant autour d’un point fixe possède un vecteur moment magnétique µ. Ce dernier est donc apte interagir avec une énergie E avec tout champ magnétique B selon la relation :

E = -\overrightarrow{\mu }\cdot\overrightarrow{B} = -\mu\cdot B\cdot cos \theta

Ici, θ désigne l’angle que fait le vecteur moment magnétique avec le vecteur champ magnétique. Classiquement, il y a colinéarité entre ce moment magnétique et le moment angulaire extrinsèque L associé à cette rotation. En effet, toute charge q en rotation se comporte comme une boucle parcourue par un courant électrique i. Soit r est la distance à l’axe de rotation et v la vitesse linéaire de la charge. Si T représente la période de rotation, la variation de charge par unité de temps s’écrit :

i = \frac{q}{T} = \frac{q\cdot v}{2\pi r}

Ceci est donc bien équivalent à une boucle parcourue par un courant électrique. Or d’après la théorie de l’électromagnétique, toute boucle de courant qui entoure une aire A = π·r² possède un moment magnétique µ. Ce moment est égal au produit du courant électrique par l’aire A de la boucle :

\mu = i\cdot A =\frac{q\cdot v\cdot \pi r^{2}}{2\pi r} = \frac{q\cdot v\cdot r}{2}

D’autre part, le moment angulaire extrinsèque L est le produit de la quantité de mouvement par la distance à l’axe de rotation r. Il vient donc :

L = m\cdot v\cdot r\Rightarrow v\cdot r = \frac{L}{m} \Rightarrow\mu = \frac{q}{2m}\cdot L

On voit ici le lien de proportionnalité entre moment magnétique µ et moment angulaire L. L’alignement est parallèle (q > 0) ou antiparallèle (q < 0) selon le signe de la charge électrique q. Soit q = -e = 1,6·10^-19 C et L = ℏ = 1,1·10^-34 J·s. On définit alors un moment magnétique élémentaire appelé “magnéton de Bohr, noté µ_B :

\mu _{B} = \frac{e\cdot \hbar}{2m_{e}} = 9,27\cdot 10^{-24}  A\cdot m^{-2}

Rapport gyromagnétique

Le rapport q/m s’appelle le rapport gyromagnétique (unité SI = C·kg^-1). Il correspond au rapport entre le moment magnétique et le moment angulaire : γ = µ/L. En physique quantique, on a l’habitude de multiplier ce rapport charge/masse par un nombre g sans dimension. Ce nombre g est appelé “facteur g de Landé”. Il tient compte de l’existence de moments cinétiques intrinsèques et non plus seulement extrinsèques :

\gamma =g\cdot\frac{\mu }{L}=g\cdot \frac{q}{2m}

Ainsi pour tout moment cinétique extrinsèque (ou orbital) on a g = 1. En revanche, pour tout moment cinétique intrinsèque (ou spin) on a :

g = 2\cdot \left( 1 + \frac{\alpha }{2\pi } + ...\right)

Le nombre sans dimension α ≈ 1/137, désigne ici la constante de structure fine de Sommerfeld. Elle caractérise la force intrinsèque de toute interaction à caractère électromagnétique. Le facteur 2 vient de la prise en compte des effets relativistes. Par contre, le terme α/2π est une correction en provenance de la théorie quantique des champs. Ce facteur rend ainsi compte de la polarisation du vide par toute charge électrique q. Compte tenu de cette valeur, le facteur g d’une particule dite élémentaire doit être voisin de la valeur g ≈ 2,0023. Si tel n’est pas le cas, c’est que la particule est formée d’entités élémentaires plus petites.

Par exemple le facteur g de l’électron vaut g_e = -2,00231930436153. Ceci démontre bien son caractère élémentaire. Incidemment, il s’agit de la quantité physique la plus précise mesurée à ce jour. Car, l’erreur standard relative est extraordinairement petite ∆g_e/g_e = 2,6·10^-13. De même le facteur g du muon vaut g_µ = -2,0023318414. Ceci en fait également une particule élémentaire. Par contre le facteur g du proton vaut g_p = 5,585694713. De même, celui du neutron vaut g_n = -3,82608545. Ceci nous indique que ces particules ne sont pas élémentaires mais composites. De fait, protons et neutrons sont tous deux composés de 3 quarks. Dans le cadre du modèle standard, ces particules sont, à ce jour, considérées comme des particules élémentaires.